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¿Hay el mismo número de números enteros que de números impares?

Autor: Jaime Eduardo González Meléndez

Imagina a un pastor que no sabe contar con números. ¿Cómo sabría cuántas ovejas tiene? Muy sencillo: cuando suelta a sus ovejas por la mañana, puede saber si todas han vuelto por la tarde emparejando a cada oveja con una piedra de un montón que tenga la misma cantidad de piedras que ovejas. Si faltase una oveja, le sobraría una piedra. 

Nuestro pastor estaría usando la idea de una correspondencia (1 a 1) y, aunque parezca algo primitivo, esta idea tiene consecuencias sorprendentes. Si alguien te preguntara ¿Hay el mismo número de números impares que de pares? ¿qué responderías? La respuesta, seguramente, sería un rotundo , porque podríamos decir, por ejemplo, que la mitad de los números enteros son impares y, la otra mitad, pares. Otra forma de expresarlo sería diciendo que, por cada número par, podemos emparejarlo con un número impar (como hizo el pastor con sus ovejas y piedras). 

Ahora imagina que alguien te preguntara ¿Hay el mismo número de números enteros que de números pares? Quizá en un principio pudiera parecer que hay más números enteros que pares, porque los enteros, aparentemente, son el doble que los pares… pero si emparejamos a cada número entero con un número par (como el pastor con sus ovejas y piedras), tendríamos algo como lo siguiente:

Enteros12345678
Pares246810121416

Y resultaría que, sin importar cuántos números enteros y pares consideremos, siempre podríamos emparejar a cada entero con un par, lo cual nos lleva a la sorprendente conclusión de que hay ¡el mismo número de números enteros que de números pares! Por último, imagina que alguien te preguntar ¿Hay el mismo número de números entre 0 y 1 que de números enteros? Los números entre 0 y 1 pueden expresarse como un número decimal, por ejemplo 1/2 = 0.5 o 3/4 = 0.75, pero resulta que no hay una lista posible para emparejar el conjunto de números entre 0 y 1 y el de los números enteros (hasta aquí llegó nuestro amigo el pastor), de modo que, aunque ambos conjuntos de números son infinitos, ¡el conjunto de números entre 0 y 1 es más grande que el de los números enteros! Parece increíble, pero resulta que, hasta entre infinitos, hay niveles.

14 noviembre, 2020

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